【在线教学案例分享】线性代数课程在线教学案例

数学科学系 杨晶

一、课程与任课教师的基本情况

线性代数课程是威尼斯9499登录入口理工专业本科生必修的一门数学基础课，与微积分一起是高等教育中最重要的基础数学课程。线性代数课程教给学生高等数学中的基本概念、方法和思想，是理工科学生进一步学习更多科学技术知识的数学基础课与先修课。因此，线性代数课程属于“量大面广”的硬课，教师、学生、学生所在院系均非常重视。线性代数课程面向大一学生开设，分上下两个学期，秋季学期64学时，春季学期32学时。笔者所教授的班是整个课程组中一个特殊的类型，专门面向双培生与文体特长生，属于因材施教分层教学的试点班级。2020年春，本课程共20人选课，每周4学时，前8周结课。

作为这门课程的任课教师，笔者独立开授的慕课“简明线性代数”入选国家在线精品课程。笔者曾获全国高校数学微课程教学设计竞赛精英赛金奖、北京市高等教育教学成果奖二等奖、北京高校第十届青年教师教学基本功比赛一等奖、威尼斯9499登录入口教师教学大赛一等奖、威尼斯9499登录入口“良师益友”称号，威尼斯9499登录入口青年教师教学优秀奖等教学类奖项。在此次新冠肺炎疫情期间，还担任了威尼斯9499登录入口在线教学指导专家组的成员。

二、课程开展在线教学的全局情况

1、教学理念与在线教学目标

疫情期间，本课程作为威尼斯9499登录入口的在线公开示范课，最重要的教学目标和教学理念就是：在老师和学生无法面对面的情况下，把疫情对教学的影响降到最低，以做到在线学习与线下课程教学质量“实质等效”。更进一步，长远地看，希望疫情期间我们对在线教学的探索和实践，能对“后疫情”时期的线性代数课堂教学产生积极的影响和借鉴。

2、在线教学工具的准备和使用

为了保证上述教学理念和目标能够实现，必须找到可行的解决方案以实时实现交互，获取数据，反馈调整，确保质量。经过2月初的反复测试与研讨，最终确定了在线教学的工具和方案。

具体来说，软件方面，采用“Zoom会议软件和荷塘雨课堂嵌套”的方式。其中，Zoom会议软件负责即时沟通，共享屏幕并录屏回放；而荷塘雨课堂负责课堂组织（如：签到、点名等），更重要的是充分利用其限时练习题、问卷、弹幕、投稿等功能，及时收集和反馈学生学习成效数据。

而在硬件方面，为了保证数学课中硬核的板书推导不打折扣，我们采用了Surface手写板电脑外加显示器的配置，同时，利用另一个台式电脑，以旁听生的身份进入课堂，随时观看学生端的情况。为了使用雨课堂还需要1-2台手机随时在身边。因为手写电脑的麦克收声效果不佳，会产生杂音相互干扰，教师端还采用了耳麦，声音效果好了很多。当然，老师适当出镜，能增加和同学互动的亲近感，所以，灯光的补充也很重要。

办公室在线授课现场

3、从传统教学到在线教学，教学设计的调整

由于在线教学的特殊性，我们在如下三个方面开展教学技法的调整：

第一，教学内容的进一步拆分。因为无法见面，降低了教师的吸引力，所以45分钟一节课时间太长了，很难达到原有的授课质量。故将原来90分钟的课堂教学内容拆成三段来讲授，每段约30分钟，中间穿插3-5分钟的休息。

第二，设计更多的课堂练习与思考问题进行互动。在线课堂中每位同学的所处环境参差不齐，更加容易被干扰导致分心。特别是在数学课上，学生如有走神，之后就很难再跟上进度。因此，我们在教学中每个相对较短的时间段里，采用了比校园课堂授课更丰富的交互式手段来找回学生注意力，同时给每个题更长的完成时间等等。为了兼顾答题快与答题慢的同学，我们尽量调整教学设计，在课间休息前发送题目（特别是主观题），答完题的同学即可自行课间休息。

第三，适度减少课堂教学内容，部分内容前置到课前预习环节或后置到课后学生自学内容中。在线课堂中碎片化和交互强度的增加，使得教师要进行更精细的教学设计，适度减少课堂教学内容，并选择合适的部分内容作为课前预习和课后自学。同时在前置与后置的这一部分内容中，采取相关反馈措施，来确保学生能在课外发生有效学习行为。

我们以“向量组的线性相关性”一节为例，来说明在线教学中我们是如何实现上述三方面的调整的。

三、课程在线直播课的若干关键细节

经过7周的在线教学实践，基本达到之前的预期。当然，我们也遇到了不少困难与问题，在不断应对与调整的过程中，积累了若干经验与教训。目前，我们已熟练掌握了工具操作的方法，并且对教学内容和方法进行了适度调整，但是由于整个教学环境发生了巨大变化，使得我们需要对一些细节更为关注。

1、预案与测试

在线教学对大多数老师和同学来说都是新鲜事物，在刚开始时，一定要充分考虑，做好各项预案与测试工作，以免正式授课中浪费过多时间处理非教学内容。例如：经过和在线教学专家组的老师们多次商议与讨论，我们列出“开课前的Checklist”与“每次上课前的Checklist”，并做好了应对各类突发状况的预案。内容如下：

本课程第8周就要结课，原计划是等学生后半学期返校后再考试。但由于返校日期无法确定，因此我们最终选择了在线闭卷考试，成为第一批“吃螃蟹”的课程。为此，我们同样进行了预案与测试。在考试前一周，我们提供了一份题型类似的测试模拟考，按照与结课考试相同的要求进行闭卷考试，让同学熟悉雨课堂的在线考试模式，了解题型，更重要的是测试了同学的网络与考试环境，尽量避免不公平的情况发生。

2、硬核推导的板书展示 

数学课，特别是数学专业课的教学显著特点是：严密讲授式与黑板板书硬核推导。所以，目前大多数数学专业课教师仍以黑板推导为主。而PPT教学是现在最普遍的教学方式，也是展开慕课与混合式教学和在线教学的基础。雨课堂是近年来新兴的教学工具，它借助师生广泛使用的PowerPoint与微信，能便捷地展开互动。

在本课程中，我们将上述三种教学方式与工具结合起来，对每一种教学方式都扬长避短，力图提高在线教学的教学效果与质量。“雨课堂 + PowerPoint + OneNote手写软件”是课程采用的模式。具体来说，直播过程中共享屏幕，利用surface电脑中的OneNote软件展开数学推导，基本保留原汁原味的黑板推导过程。其中，定理和定义用PPT提前做好，直接插入到OneNote中，可以节省抄写的时间，提高效率。同时利用会议软件嵌套雨课堂，展开课堂互动，包括课前预习PPT、课中题目推送、投稿与弹幕、课后小测题反馈等。

另一方面，课程中还常常利用Zoom会议共享屏幕中实现在PPT上勾勾画画，不仅能为学生讲解知识，还能尽量将思考的过程展示给学生。

3、利用工具提高数学公式录入的效率

数学课在准备课件的过程往往比较辛苦，主要是因为有大量公式需要录入，比如说很多大型矩阵和行列式的录入。特别是对于过去用黑板推导的老师来说，为了准备线上授课，往往需要投入大量精力在PPT中录入数学公式。本课程的部分章节也遇到了这个问题。我们利用了两款公式录入的神器——“Mathpix + Mathtype”，大大简化了录入数学公式的过程，不仅支持Latex语言，还可以将手写公式轻松转化为PPT中的公式。

4、答疑与习题课

学生在数学课中的收获，有相当一部分来自于课后的习题演算与推导。本课程中，除了传统的课后习题，我们还针对在线教学的特点，重新设计了4课时习题课，采用“发布→思考→同学讨论→教师录屏讲解”的方式展开习题课。这个过程中，后两个环节相较于传统习题课有更好的效果，对“后疫情”时期的习题课有很好的借鉴作用。

除此之外，我们每周设置了一小时的在线答疑时间，同学参与的积极性明显高于传统的办公室答疑，学生出席总人次甚至是传统办公室答疑的5倍以上。另外，利用Zoom软件的共享屏幕中可以多人注释的功能，师生互动讨论题目，可以很方便地开展多人同时参与答疑讨论，对于解决普遍存在的重复性问题，效率大大提高。

5、考核与学生的学习评价

为了更好地适应在线教学，实现课程的教学目标，考察学生学习的全过程，我们采用了如下综合评价体系：

总评成绩=平时作业20% + 课堂表现&随机小测20%+ 期末考(闭卷)60%+课外扩展自学报告5% (额外分)。该评价体系从各个层面激发了学生的学术志趣，锻炼了学生的动手能力与创新能力。此外，我们还在配套习题、习题课安排与作业评价方面进行以下过程激励的改革与尝试。“拓展性课外报告”的引入，激发了学有余力的学生的探究精神。

四、总结与展望

本课程经过7周在线教学实践，教师和学生对在线教学都有了更多的认识和体会。通过本课程，我们总结了一些在线教学的优势：学生方面，能看得更清楚、听得更清楚，能够回看，能够匿名交互，更有参与积极性；教师方面，被“倒逼”学习掌握了更多混合式教学方法与技术，更加精细地调整教学设计与教学互动。与此同时，在线教学也存在着一些限制与问题，如：严重依赖每一位参与者的网络状况和网络平台的稳定状况；在线互动会占用更多的时间，且相对于实体课堂存在互动效率偏低等问题。这些都需要我们进一步去探索和解决，和学生一同打赢这场抗疫的教学保卫战。

目前，国内抗疫已经取得明显成效，国际抗疫形势也有可能迎来拐点。未来我们面临的问题是：疫情过后，回归课堂，“后疫情”时代的教学会怎样？我们相信，疫情期间在线教学中产生的教学创新和发现的新教学场景，势必会对未来课堂教学产生深远的影响，未来的高校数学课堂教学，将会与融合了新兴技术的在线教学有更多更深的混合。

说明：本文著作权属于作者，如需转载，请与作者本人联系。

（清华新闻网4月9日电）

编辑：李晨晖

审核：程曦